関数 f(x,y) の最大値と最小値を求める：原点中心の半径1の円の内部での解析

関数 f(x,y) = (x+y)^2 + (x-y)^2 の最大値と最小値を、原点を中心とする半径1の円の内部領域上で求める方法を解説します。この記事では、数学的なアプローチを使用して、どのようにして関数の極値を特定するかを説明します。

関数 f(x,y) の簡単な解説

関数 f(x, y) は、二変数の実数関数であり、次の式で表されます。
f(x, y) = (x + y)^2 + (x – y)^2

この関数の目的は、与えられた領域内での最大値と最小値を見つけることです。まず、この関数がどのように構造化されているかを理解することが重要です。式を展開すると、以下のようになります。

f(x, y) = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 – 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2

次に、原点を中心にした半径1の円内部での関数の挙動を見ていきます。この円の方程式は、x^2 + y^2 = 1 です。この領域内で関数 f(x, y) = 2(x^2 + y^2) を評価します。

円の内部領域では、x^2 + y^2 の値は常に 1 以下であり、最大で 1 となります。したがって、関数 f(x, y) の評価は、x^2 + y^2 の範囲に依存します。

関数 f(x, y) = 2(x^2 + y^2) ですので、x^2 + y^2 の最大値が 1 のとき、f(x, y) の最大値は 2 となります。最小値は、x^2 + y^2 が最小である点で発生し、最小値は 0 です。

したがって、原点を中心とする半径1の円の内部領域における最大値は 2、最小値は 0 です。

このように、関数 f(x, y) = (x + y)^2 + (x – y)^2 の最大値と最小値は、原点を中心とする半径1の円の内部領域内で簡単に求めることができます。最大値は 2、最小値は 0 となります。関数の形状と与えられた領域に基づいて、この問題を解くことができました。