関数の平行移動と最小値の求め方：場合分けの解説

関数 f(x) = x² – 2x + 2 に対して、平行移動後の関数 g(x) と h(x) の最小値を求める問題について、場合分けの方法を解説します。平行移動の意味と、それを用いた最小値の求め方を順を追って説明します。

関数の平行移動とは？

関数 y = f(x) のグラフを平行移動するというのは、グラフ全体を x 軸や y 軸方向に移動させる操作です。今回は、x 軸方向に 3、y 軸方向に -3だけ平行移動するので、新しい関数 g(x) は次のように表されます。

g(x) = f(x-3) – 3

元の関数 f(x) = x² – 2x + 2 に対して、x 軸方向に 3だけ移動させるためには、x を x-3 に置き換えます。さらに、y 軸方向に -3だけ移動させるためには、関数全体から 3 を引きます。これにより、関数 g(x) が得られます。

g(x) = (x-3)² – 2(x-3) + 2 – 3

この式を展開すると、g(x) = x² – 6x + 7 となります。

次に、関数 h(x) を定義します。問題の条件に従い、以下のように場合分けを行います。

これを解くために、まず f(x) と g(x) を比較し、どの範囲で f(x) が g(x) より大きいか、または小さいかを調べる必要があります。

次に、h(x) の最小値 m を求めます。範囲 0 ≦ x ≦ a における最小値を求めるために、f(x) と g(x) の交点を求め、その値を比較します。具体的には、f(x) = g(x) の時の x の値を求め、その点を基準に最小値を計算します。

今回の問題では、関数の平行移動と場合分けを使用して、最小値を求めました。関数の平行移動の理解と場合分けの技術を駆使することで、問題を解く手順が明確になります。f(x) と g(x) を比較し、適切な範囲で最小値を求める方法を習得しましょう。