a1=1, b1=0, a(k+1)=1+4(ak)+bk, b(k+1)=1+ak+4bk を満たす {an}, {bn} の式の導出方法

この問題では、再帰的な式を使って {an} と {bn} の関係を求める方法について解説します。与えられた式は a1=1, b1=0, a(k+1)=1+4(ak)+bk, b(k+1)=1+ak+4bk です。問題では、特に Bn を n の式で表す方法に焦点を当てます。

1. 問題の整理と前提条件

まず、a(k+1) と b(k+1) の再帰式を確認します。与えられた式は、次の通りです。

a(k+1) = 1 + 4(ak) + bk

b(k+1) = 1 + ak + 4bk

これにより、各項の関係が明確になります。a(k) と b(k) の値を使って次の値を求めることができ、最終的に Bn を導出することが目的となります。

問題では、Bk = ak + bk と定義されています。したがって、次の式を得ることができます。

B(k+1) = a(k+1) + b(k+1)

この式に a(k+1) と b(k+1) の式を代入すると。

B(k+1) = (1 + 4ak + bk) + (1 + ak + 4bk)

これを整理すると。

B(k+1) = 2 + 5ak + 5bk

次に、この式を使って Bn を n の式で表現します。まず、再帰的な関係を解くために、B1 = a1 + b1 を使用します。a1 = 1, b1 = 0 ですので、B1 = 1 となります。

次に、B(k+1) = 2 + 5ak + 5bk を使って、具体的な値を計算していきます。再帰式を解くことで、最終的に Bn の式が求まります。

再帰式を解いていくと、最終的に次のような式が得られます。

Bn = (3•5^(n-1) – 1) / 2

この式が、問題の要求する Bn を n の式で表した解となります。

この問題では、再帰式を使って {an} と {bn} を求め、最終的に Bn を導出しました。再帰式を解く際には、各式を整理し、逐次的に代入していくことで解を求めることができました。B(n) の最終式は Bn = (3•5^(n-1) – 1) / 2 となります。