a + b + c = 8 のときの a² + 4b² + c² + 2c の最小値の求め方

この問題では、与えられた式 a + b + c = 8 のもとで、a² + 4b² + c² + 2c の最小値を求める方法を解説します。a = 8 – b – c という式を使って、最小値を求めるためのアプローチを段階的に見ていきます。

1. 問題の設定と式の整理

与えられた式は、a + b + c = 8 です。これを使って a の値を b と c に関して表現することができます。式 a = 8 – b – c として、目的の式 a² + 4b² + c² + 2c に代入し、b と c の関数として式を簡単にします。

まず、a = 8 – b – c を式に代入すると次のようになります。

a² = (8 – b – c)² = 64 – 16b – 16c + b² + 2bc + c²

これを a² + 4b² + c² + 2c に代入すると、次のようになります。

64 – 16b – 16c + b² + 2bc + c² + 4b² + c² + 2c

この式を整理すると、次のようになります。

64 – 16b – 16c + 5b² + 2bc + 2c² + 2c

この式を最小化するためには、b と c の関数としてこの式を微分して、その導関数をゼロに設定して解を求めます。まず、b と c についてそれぞれ微分します。

b に関して微分した結果。

∂/∂b (64 – 16b – 16c + 5b² + 2bc + 2c² + 2c) = -16 + 10b + 2c = 0

c に関して微分した結果。

∂/∂c (64 – 16b – 16c + 5b² + 2bc + 2c² + 2c) = -16 + 2b + 4c + 2 = 0

これらの微分結果を使って連立方程式を解くと、b と c の最適な値が求まります。最終的に最小値を得るために、得られた b と c の値を式に代入して求めます。

a + b + c = 8 の条件のもとで、a² + 4b² + c² + 2c の最小値を求めるためには、a を b と c の式に代入し、微分して最適な解を求めることが重要です。この方法を使うことで、最小値とその時の a, b, c の値を求めることができます。