高校数学Aの確率問題で、黒球と白球を無作為に並べる問題について解説します。問題の中で、黒球が隣り合わない場合や、白球が連続する場合の確率を求める方法を順を追って説明します。理解の助けとなるよう、具体的な解法をステップごとに解説します。
問題の内容
この問題では、2n個の白球とn個の黒球を円形に無作為に並べ、次の確率を求めるという内容です。
- 黒玉が隣り合わない確率
- 連続して2n個の白球が並ぶ確率
問題(1): 黒玉が隣り合わない確率
黒玉が隣り合わないように並べる場合、まず1つの黒玉を固定する方法で計算を行います。この方法により、残りの黒玉と白球を適切に並べることができます。
具体的な計算式は、次の通りです。
方法1:1つの黒玉を固定した場合の計算式:
{(2n-1Cn-1) × (2n)! × (2n-1)!} / (3n-1)!
問題(2): 連続して2n個の白球が並ぶ確率
白球が2n個連続して並ぶ確率を求める場合、黒玉を固定した場合の計算式と、白玉を固定した場合の計算式を比較して解きます。実際に問題を解く過程で得られる確率の式を導出する手順を説明します。
方法1: 黒玉を固定し、白球の並び順に基づく計算式:
{n! × (2n)!} / (3n-1)!
方法2: 白玉を固定し、黒球の並び順に基づく計算式:
{2 × (2n-1)! × n!} / (3n-1)!
解法の手順とポイント
問題(1)および問題(2)の解法の違いを理解することが重要です。まず、計算の手順を間違えないように、すべての球を正しく並べることが求められます。問題(1)の解法では黒玉の配置を確定し、白玉を並べる方法を選択することで確率を求める一方、問題(2)では連続した白球をどのように配置するかがポイントになります。
まとめ
この問題を解くためには、黒玉と白玉の配置方法を適切に考える必要があります。最初は計算式に戸惑うかもしれませんが、確率の計算手法に慣れていくことで、問題を効率的に解けるようになります。数学の問題を解く際は、式の意味をしっかり理解し、手順通りに進めることが大切です。
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