数列anがαに収束するとき、snもαに収束する理由を示す数学的証明

大学数学の問題において、数列anがαに収束する場合に、数列snもαに収束することを示す問題があります。ここでは、数列snがどのようにしてαに収束するのかを証明する方法について解説します。数列の収束について理解を深めることができる良い例です。

収束の定義と問題の設定

まず、数列anがαに収束するとは、任意のε > 0に対して、あるNが存在してn ≥ Nであれば、|an – α| < εが成り立つことを意味します。ここで、数列snは次のように定義されています。

sn = (a1 + 2a2 + ... + nan) / (1 + 2 + ... + n)

この数列snがαに収束することを示すためには、anがαに収束することを前提に、snの挙動を確認する必要があります。

数列snを式で表すと、分子と分母はそれぞれ以下のようになります。

分子: a1 + 2a2 + 3a3 + ... + nan

分母: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

これを使ってsnの式を簡略化できます。数列snは、anの加重平均のような形で表されており、anの収束がsnにどのように影響を与えるのかを見ていきます。

数列snがαに収束するかどうかを確かめるためには、snの各項がanの収束性によって支配されることを示さなければなりません。anがαに収束しているため、任意のε > 0に対して、anとαの差がεより小さくなるようなNが存在します。

したがって、数列snも次のように収束することがわかります。

|sn - α| = |(a1 + 2a2 + ... + nan)/(1 + 2 + ... + n) - α|

ここで、分母はn(n+1)/2の形で増加していきます。したがって、分子における各項がanとαの差によって小さくなるため、snもαに収束することが証明できます。

例えば、anが単純な数列である場合を考えましょう。もしan = 1/nのような数列があった場合、anは0に収束します。この場合、snは次のように書けます。

sn = (1 + 2(1/2) + 3(1/3) + ... + n(1/n)) / (1 + 2 + 3 + ... + n)

計算していくと、snも0に収束することがわかります。このように、anがαに収束する場合、snもαに収束することが確認できます。

数列anがαに収束する場合、数列snもαに収束することは、数列の加重平均が収束の性質を保持することに基づいています。anの収束性を前提に、snがαに収束することを証明するためには、数列の構造と収束の定義を適切に活用することが重要です。この証明方法は、収束の基本的な理論を理解するために役立ちます。