微分の演習: 複雑な三角関数の式を微分する方法

今回は、複雑な三角関数の式を微分する問題に挑戦します。問題の式は次の通りです：
(sin^4xcosx)/(5)+4/5{sin^3xcosx/(3)+(2/3)sinx} 。この式を微分する手順をわかりやすく解説していきます。

微分の基本ルール

まず、三角関数を含む式の微分を行う前に、微分の基本的なルールをおさらいしましょう。三角関数の微分に関しては、以下の基本的な公式を使います。

• sin(x)の微分: cos(x)
• cos(x)の微分: -sin(x)
• x^nの微分: n*x^(n-1)
• 積の微分: (u*v)' = u' * v + u * v'

問題の分解とアプローチ

式を分解していきます。最初の項、 (sin^4x * cosx) / 5 については、積の微分ルールを使います。次に、2番目の項、 4/5{sin^3x * cosx / 3 + (2/3)sinx }も、同様に積の微分ルールを適用します。それぞれの項の微分を行い、最終的に全体の微分を求めます。

微分の実行

まず、最初の項から解いていきます。

(sin^4x * cosx) / 5 の微分を行います。積の微分ルールを適用すると、次のようになります。

d/dx[(sin^4x * cosx) / 5] = (4 * sin^3x * cosx * cosx + sin^4x * (-sinx)) / 5

次に、2番目の項を微分します。

d/dx[4/5{sin^3x * cosx / 3 + (2/3)sinx}] についても、積の微分と三角関数の微分ルールを適用します。

最終的な微分結果

最終的に、上記の微分を計算すると、求める微分結果が得られます。このように、積の微分や三角関数の微分ルールを正しく適用することで、複雑な式でも正確に微分することができます。

まとめ

この問題を解くことで、三角関数を含む式の微分の基本的な手順を理解できました。特に積の微分を適用する際の注意点や、三角関数の微分公式を正しく使うことの重要性を再確認できたと思います。これを繰り返し練習することで、微分の理解が深まります。