今回は、sin^3(x)cos(x) を微分する方法を解説します。微分の基本的なルールと、積の微分法則を使ってこの問題を解決していきます。
微分の基本ルール
微分を行うためには、まず微分の基本的なルールを理解しておく必要があります。ここで使用するルールは以下の通りです。
- 定数倍の微分: k * f(x) の微分は k * f'(x)
- 積の微分法則: (f(x) * g(x))’ = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
積の微分法則を適用する
与えられた関数 sin^3(x) * cos(x) は、積の形をしているので積の微分法則を適用します。ここで f(x) = sin^3(x) と g(x) = cos(x) と置きます。
積の微分法則を適用すると、微分は以下のように求められます。
f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
それぞれの微分を求める
次に、それぞれの微分を求めます。
- f(x) = sin^3(x) の微分を求めます。この場合、合成関数の微分法則を使います：
- f'(x) = 3sin^2(x) * cos(x)
- g(x) = cos(x) の微分は簡単で：
- g'(x) = -sin(x)
微分をまとめる
これらの結果を積の微分法則に代入します。
f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) = 3sin^2(x) * cos(x) * cos(x) + sin^3(x) * (-sin(x))
これを整理すると。
3sin^2(x) * cos^2(x) – sin^4(x)
まとめ
したがって、sin^3(x) * cos(x) の微分は 3sin^2(x) * cos^2(x) – sin^4(x) となります。この計算を理解し、積の微分法則を使うことで、複雑な関数の微分を簡単に求めることができます。
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