部分積分は、積分における非常に重要な手法で、特に積の形をした関数を積分する際に使用されます。しかし、部分積分を適用する際にはいくつかの注意点があります。特に、「どの部分をuとvにするか」という選択が結果に大きく影響するため、注意深く行う必要があります。この記事では、部分積分の基本と、誤った適用がどうして問題を引き起こすのかを解説します。
部分積分の基本的な考え方
部分積分の公式は次のように表されます。
∫u dv = uv – ∫v du
ここで、uとvは積分する関数で、uを選んでその微分duを取り、dvを選んでその積分vを取るという形です。この公式は、積の積分を別の形に変換することによって、簡単に解けるようにするために使われます。
与えられた問題の解法：∫xe^x dx
まず、問題の積分式「∫xe^x dx」を考えましょう。これを部分積分を用いて解きます。
部分積分の公式に基づき、u = x、dv = e^x dx として、du = dx、v = e^x です。このようにすると。
∫xe^x dx = x * e^x – ∫e^x dx
ここで、∫e^x dx = e^x なので、最終的な答えは。
xe^x – e^x + C となります。
誤った部分積分の適用例
質問者が提案した「∫(x)’e^x」に変更した場合、これは部分積分の公式に適合しません。部分積分は、積の形における「u」と「dv」を適切に選んで適用する必要があります。質問者が提案したように、「(x)’e^x」として部分積分を試みた場合、式が正しくないため、結果として誤った式を導き出してしまうことになります。
具体的には、uとして(x)’を選んだ場合、微分の計算が正しく進まないため、結果として予期しない式（例えば、「xe^x – (1/2)x^2e^x + C」）が得られてしまいます。この場合、部分積分の選択が誤っていることが問題の原因です。
部分積分の正しい選び方
部分積分で重要なのは、uとdvをどのように選ぶかです。一般的な目安として、uとして選ぶべきは、微分したときに簡単になる関数です。例えば、指数関数や対数関数などは微分すると単純な形になるため、通常はdvに選ばれます。
また、積の積分においては、uとvを選ぶ際に計算の簡便さを意識することが大切です。uをxのような多項式、dvを指数関数や三角関数などにするのが一般的な選択です。
まとめ
部分積分は強力な積分技法ですが、適切な関数の選択が必要です。間違って選択した場合、正しい答えを得ることができません。質問者のように誤って部分積分を適用してしまうことがあるため、公式に従って適切にuとdvを選びましょう。また、部分積分を繰り返すことで簡単に積分できる場合もあるため、問題ごとの適用を慎重に進めることが大切です。
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