中学3年生の数学問題：3つの連続した整数の積に関する証明

中学3年生の数学でよく出題される「3つの連続した整数に関する問題」について、今回はその証明方法をわかりやすく解説します。この問題では、最も小さい整数と最も大きい整数の積に1を加えると、真ん中の整数の2乗に等しくなることを証明する必要があります。

問題の概要

問題文は次の通りです。3つの連続した整数において、最も小さい整数をn、真ん中の整数をn+1、最も大きい整数をn+2としたとき、最も小さい整数と最も大きい整数の積に1を加えると、真ん中の整数の2乗に等しくなるというものです。

証明は、最初に与えられた式「n(n+2)+1」を展開し、それが真ん中の整数の2乗に等しいことを示します。

まず、最も小さい整数をn、最も大きい整数をn+2とすると、最も小さい整数と最も大きい整数の積は「n(n+2)」となります。

次に、その積に1を加えます。

n(n+2) + 1

これを展開すると、次のようになります。

n² + 2n + 1

この式は、(n+1)²に等しいことがわかります。

したがって、n(n+2) + 1 は、(n+1)² に等しくなり、これは真ん中の整数の2乗に一致します。よって、この問題の証明が完了しました。

この問題は、与えられた式を展開し、真ん中の整数の2乗に等しいことを示すシンプルな証明です。証明のポイントは、式の展開と、展開後に得られる結果が、(n+1)² に一致することを確認することです。