数学Ⅲ 不定積分の解説：∫２^(5x+2)dx の計算方法

今回は、数学Ⅲの不定積分の問題「∫２^(5x+2)dx = ２^(5x+2)/5log2 + C」の解き方について解説します。この問題は、指数関数の積分を求める問題で、特にログ関数が登場する点に注目します。

問題の概要

まず、問題文は次のような形です：
∫２^(5x+2)dx という不定積分を求めます。指数関数の積分は、通常の積分方法とは異なるため、少し工夫が必要です。

この積分を解くためには、まず積分対象の指数関数の形を整理し、指数法則を利用して解く方法を考えます。式の形は２^(5x+2)ですが、これは指数関数の一般的な形に近いです。そこで、積分の前に一つの工夫を加えます。

指数関数の積分公式を思い出しましょう。一般的な形は次のように表されます：
∫a^(bx) dx = a^(bx) / (b * log(a)) + C
この公式に基づいて、今回はa = 2, b = 5であるため、次のように計算を進めます。

まず、２^(5x+2)を２^(5x) * ２^2に分けることができます。これを使って、次のように整理します：
∫２^(5x+2)dx = ２^2 * ∫２^(5x)dx

次に、公式に基づいて積分を行います：
∫２^(5x)dx = ２^(5x) / (5log2) + C
したがって、最終的な結果は次のようになります。

２^2 * (２^(5x) / 5log2) = ２^(5x+2) / 5log2

以上のようにして、この不定積分は指数関数の積分の公式を使って解くことができます。重要なのは、指数関数の積分における指数法則をうまく活用することです。最終的に、答えは「２^(5x+2)/5log2 + C」となります。