aとbに垂直な単位ベクトルの求め方：線形代数の問題解説

線形代数におけるベクトルの直交性に関する問題です。与えられたベクトルa = (1, -1, 2)とb = (2, 0, 2)に対して、それら両方に垂直な単位ベクトルを求める問題です。特に、±1/√3（-1, 1, 1）という答えが求められる理由を詳しく解説します。

問題の整理と目的

与えられたベクトルa = (1, -1, 2)とb = (2, 0, 2)に対して、aとbの両方に垂直な単位ベクトルeを求めることが求められています。単位ベクトルとは、その長さ（ノルム）が1であるベクトルです。また、直交するベクトルを求めるために、外積を使うことが一般的です。

ベクトルの外積の利用

ベクトルaとbに垂直なベクトルは、aとbの外積を用いて求めることができます。外積は、2つのベクトルaとbの直交するベクトルを計算する方法で、計算式は次のようになります。

a × b = |i  j  k|
         |1 -1  2|
         |2  0  2|

この外積の計算を行うと、ベクトルe = (2, 4, -2)が得られます。このベクトルeは、aとbの両方に垂直なベクトルですが、単位ベクトルとして表すためにはノルムを1にする必要があります。

単位ベクトルの求め方

ベクトルe = (2, 4, -2)のノルム（長さ）は、次の式で求めることができます。

||e|| = √(2² + 4² + (-2)²) = √24 = 2√6

このノルムを1にするためには、eをノルムで割る必要があります。したがって、単位ベクトルe’は次のように求められます。

e' = (1 / 2√6) * (2, 4, -2) = (1/√3) * (-1, 1, 1)

±1/√3（-1, 1, 1）が答えになる理由

したがって、aとbに垂直な単位ベクトルは、±1/√3（-1, 1, 1）となります。±符号がつくのは、ベクトルの向きが反対であっても、その長さ（ノルム）は同じであり、いずれも垂直な単位ベクトルとして認められるからです。

まとめ

a = (1, -1, 2)とb = (2, 0, 2)に垂直な単位ベクトルを求めるには、外積を使って直交するベクトルを求め、そのベクトルのノルムを1に正規化する必要があります。最終的な答えは±1/√3（-1, 1, 1）となります。このように、外積を使って直交するベクトルを求め、単位ベクトルに変換する方法が重要です。