フーリエ変換の問題：積分のフーリエ変換の解法

この問題では、与えられた関数 f(x) のフーリエ変換を利用して、特定の積分のフーリエ変換を求める方法について解説します。

フーリエ変換の基本

フーリエ変換は、信号や関数を周波数成分に分解する方法です。式で表すと、f(x) のフーリエ変換 F(u) は次のように定義されます。

F(u) = 1/√2π ∫[-∞,∞] f(x) exp(-iux) dx

問題では、積分 ∫[-∞,∞] f(t) f(t+x) dt のフーリエ変換を求めるように求められています。まず、この積分がどのようにフーリエ変換されるかを考えます。

まず、問題の積分式をフーリエ変換の定義を使って展開します。フーリエ変換の性質を活かすことで、積分のフーリエ変換は次のように変換できます。

∫[-∞,∞] f(t) f(t+x) dt のフーリエ変換は √2π F(-u)F(u) となります。この結果は、フーリエ変換の積の性質に基づいています。

フーリエ変換には、二つの関数の積のフーリエ変換がそれぞれのフーリエ変換の積になるという性質があります。この性質を活用すると、与えられた式に対するフーリエ変換の計算が容易になります。

この問題の解法では、フーリエ変換の積の性質を活用することで、与えられた積分のフーリエ変換を簡単に求めることができました。結果は √2π F(-u)F(u) となり、フーリエ変換の重要な性質を理解することができました。