与えられた式a² + b² + c² = d²を満たす正整数a, b, c, dに関する2つの問いについて解説します。この問題では、特にa, b, cのうち少なくとも2つが偶数であること、そしてa, b, c, dのうち少なくとも1つが3の倍数であることを示す必要があります。
問題の整理と解析
式a² + b² + c² = d²は、4つの正整数に関する等式です。この等式が成立するための条件として、整数の性質を活かして、少なくとも2つが偶数であること、少なくとも1つが3の倍数であることを証明します。
(1) a, b, cのうち少なくとも2つは偶数であることを示せ
偶数の平方は必ず4で割り切れますが、奇数の平方は1で割った余りが1になります。この性質を使って、a² + b² + c² = d²が成り立つためには、a, b, cのうち少なくとも2つは偶数であることを示します。
まず、仮にa, b, cが全て奇数だとしましょう。奇数の平方は1で割った余りが1なので、3つの奇数の平方の和は、1 + 1 + 1 = 3になり、d²は3の倍数である必要があります。しかし、d²は必ず4で割った余りが0か1であるため、a, b, cのうち少なくとも2つが偶数であることが必要です。
(2) a, b, c, dのうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ
次に、a, b, c, dのうち少なくとも1つが3の倍数であることを示します。3の倍数に関する性質を使って、a² + b² + c² = d²の条件下で、これを証明します。
まず、3で割った余りを考えます。任意の整数xについて、x²は0または1の余りしか持ちません。すなわち、x ≡ 0 (mod 3) または x ≡ 1 (mod 3) の場合、x² ≡ 0 (mod 3) または x² ≡ 1 (mod 3) です。したがって、a² + b² + c² = d²の場合、少なくともa, b, c, dのいずれかが3の倍数である必要があります。
まとめ
この問題では、a² + b² + c² = d²という等式を満たすために、a, b, cのうち少なくとも2つは偶数であり、a, b, c, dのうち少なくとも1つは3の倍数であることを示しました。これらの整数の性質を理解することで、より複雑な問題にも対応できるようになります。
コメント