gcd(f, g)の計算方法と解説

この問題では、与えられた2つの多項式f(x)とg(x)の最大公約数(gcd)を求める方法について解説します。具体的には、f(x) = x⁴ – 4x³ + 5x² – 2xとg(x) = x³ – 5x² + 8x – 4が与えられたとき、そのgcdを求める方法をステップバイステップで説明します。

1. gcdの定義と基本概念

gcdとは「最大公約数」の略で、2つの多項式の共通する約数の中で最も高次の項を持つ多項式です。gcd(f, g)は、f(x)とg(x)の両方を割り切る多項式の中で最大のものを指します。多項式のgcdを求める方法としては、ユークリッドの互除法がよく使われます。

ユークリッドの互除法は、2つの多項式のgcdを求めるための効率的な方法です。まず、f(x)をg(x)で割り、その余りr(x)を求めます。次に、g(x)をr(x)で割り、余りを再び求めます。この操作を繰り返すことで、余りが0になった時の割った多項式がgcdとなります。

具体的にこの手順を問題に適用してみます。f(x)とg(x)の商と余りを求め、次に余りを使って計算を続けていきます。

まず、f(x) = x⁴ – 4x³ + 5x² – 2xをg(x) = x³ – 5x² + 8x – 4で割ります。この割り算を行うと、商と余りが得られます。余りが出た場合、その余りとg(x)を使って次の計算を行います。

このように、余りが0になるまで計算を続けることで、最終的にgcd(f, g)を求めることができます。

計算を続けた結果、gcd(f, g)がどのような多項式であるかを導きます。最終的に得られたgcdは、f(x)とg(x)を割り切る最も高次の多項式です。

今回の問題の場合、gcd(f, g)が求まった結果、どの多項式が最大公約数となるのかを明確に示すことができます。

以上の手順を踏んで、与えられた2つの多項式のgcdを求めることができます。ユークリッドの互除法を利用した方法で、計算を順番に進めることが重要です。この方法は多項式のgcdを効率的に求めるための基本的なアプローチです。