コーシーシュワルツの不等式を用いてx²+y²の最大値と最小値を求める方法

この問題では、x ≥ 0、y ≥ 0、x + 2y = 1という条件下で、x² + y²の最大値と最小値を求める方法について、コーシーシュワルツの不等式を使って解くアプローチを解説します。

問題の整理

与えられた条件はx ≥ 0、y ≥ 0、そしてx + 2y = 1です。この式を用いてx² + y²の最大値と最小値を求める問題です。コーシーシュワルツの不等式を利用して解く方法を考えていきます。

コーシーシュワルツの不等式は、2つのベクトルに対して成り立つ不等式です。数式としては次のように表現できます。

(a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + … + aₙ²)(b₁² + b₂² + … + bₙ²)

この不等式を用いて、x² + y²の最大値と最小値を求めることが可能です。

まず、x + 2y = 1という条件から、xをyの式で表すことができます。x = 1 – 2yと書き換えることができ、x² + y²の式は次のようになります。

x² + y² = (1 – 2y)² + y² = 1 – 4y + 4y² + y² = 1 – 4y + 5y²

次に、x² + y²をyの関数として考え、最小値と最大値を求めます。この関数を最小化または最大化するために、コーシーシュワルツの不等式を適用して解を得る方法を導きます。

コーシーシュワルツの不等式を使って、xとyの間の関係を探り、x² + y²の最小値と最大値を求める方法についてさらに詳しく解説します。具体的なステップは、xとyの係数に基づいて計算し、得られた結果から最大値と最小値を導出することが可能です。

コーシーシュワルツの不等式を利用してx² + y²の最大値と最小値を求める方法は、与えられた条件を使って計算し、最適な解を導き出すための強力なツールです。この問題を通じて、コーシーシュワルツの不等式の応用を深く理解することができます。