ベクトルの外積は、ベクトル間の直交する方向に対して新たなベクトルを生み出す演算です。この外積が分配法則を満たすかどうかは、線形代数において重要な性質の一つです。この記事では、ベクトル和の外積における分配法則の成り立ちについて解説します。
ベクトル外積の基本
ベクトルの外積は、2つのベクトルに対して新たなベクトルを作る演算です。例えば、ベクトルAとBの外積は、A × Bという形で記述され、その結果として得られるベクトルは、AとBの両方に直交する方向に向かいます。この演算には向きや大きさの概念が含まれ、物理学や工学分野でも広く使われます。
外積は、ベクトルの順序が重要であり、A × B ≠ B × Aであるという性質を持っています。この性質を利用して、ベクトル外積の分配法則が成り立つかどうかを確認します。
分配法則の確認
ベクトルの外積について、分配法則が成り立つかどうかを確かめるために、以下のような式を考えます。
A × (B + C) と (A × B) + (A × C)
この場合、左辺の A × (B + C) は、ベクトルBとベクトルCの和に対してAとの外積を計算する形になります。一方、右辺の (A × B) + (A × C) は、それぞれのベクトルに対する外積を個別に計算した結果を足し合わせる形です。これらが一致するかどうかを調べることにより、分配法則が成り立つかを確認できます。
外積における分配法則の成り立ち
ベクトル外積は、実際に分配法則が成り立ちます。つまり、以下の関係が成り立ちます。
A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
このように、ベクトル外積は加法に関して分配法則を満たします。これは、外積が直交性や方向性を保持する性質に基づいており、計算を実際に行うときにも確認できます。
まとめ
ベクトルの外積における分配法則は確かに成り立ちます。すなわち、A × (B + C) は (A × B) + (A × C) に等しいことが確認できます。これにより、ベクトル外積を使った計算や解析において、外積の分配法則が有効に機能することがわかります。
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