本記事では、σ有限な測度空間または局所コンパクトな距離空間における連続関数の空間CとVに関して、Cの閉包がVと一致することを示す問題を解説します。特に、C⊂Vであり、Vが閉集合であることはすでに示されている条件から、Cの閉包⊃Vを示す方法に焦点を当てて詳しく説明します。
問題の整理と定義の確認
まず、CとVの定義を整理します。Cは次のように定義されます。
- C={u:X→R | uは連続で、supp uはコンパクト}
一方、Vは次のように定義されます。
- V={u:X→R | uは連続で、∀ε＞0, ∃compact K⊂X s.t. ∀x∈K^c, |u(x)|≦ε}
これらの定義から、VがCの閉包であることを示すために、具体的な手順を追っていきます。
Cの閉包とVの関係
C⊂Vであること、そしてVが閉集合であることはすでに示されています。次に、Cの閉包がVを含むことを示す必要があります。閉包を示すためには、Cの任意の列がVに収束するかを確認することが重要です。
具体的には、C内の連続関数列がVに収束する際、Cの定義に基づいて、各関数がその支点においてコンパクトな支持を持つことを示す必要があります。
連続関数列の収束とVの条件
連続関数列がVに収束するという条件を詳しく考えます。Vの定義では、任意のε＞0に対して、あるコンパクト集合K⊂Xが存在し、K^c（Kの補集合）上で関数の値がε以下である必要があります。この条件を満たすことを示すために、関数列の収束の様子を調べます。
具体的には、Cの連続関数列が収束する際、収束先の関数がVの条件を満たすことを確認する作業が必要です。このように、収束先の関数がVの定義に一致することが重要です。
Vが閉集合であることの重要性
Vが閉集合であるという性質は、関数列の収束がVの中に収束先を持つことを保証します。この性質を利用して、Cの閉包がVに一致することを示すことができます。特に、Vが閉集合であるため、Cの連続関数列がVに収束する際、その収束先がVの中に含まれることが確定します。
このようにして、Cの閉包がVと一致することが示されます。
まとめ
σ有限な測度空間や局所コンパクトな距離空間における連続関数の空間CとVについて、Cの閉包がVと一致することを示しました。C⊂Vであり、Vが閉集合であるという条件を基に、Cの閉包がVに一致することを証明しました。この証明は、連続関数列の収束に関する理解を深め、Vが閉集合であることの重要性を明確に示しています。
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