大学の課題で「拡張ユークリッドアルゴリズム」に関する問題を解く際、具体的な計算過程が理解できずに困っている方も多いかもしれません。今回は、Sol[2025, 47, 8]という具体的な例を使って、拡張ユークリッドアルゴリズムの計算過程を解説します。
拡張ユークリッドアルゴリズムとは？
拡張ユークリッドアルゴリズムは、ユークリッドの互除法を拡張したもので、2つの整数の最大公約数（GCD）を求めるだけでなく、それらの整数の線形結合（ax + by = gcd(a, b)）を求める方法です。これにより、逆元や合同式の解を求める際にも用いられます。
問題の設定：Sol[2025, 47, 8]を解く
この問題では、整数2025と47について、拡張ユークリッドアルゴリズムを用いて、2025の47に対する逆元を求めます。具体的には、以下の手順で計算を行います。
1. ユークリッドアルゴリズムを用いて2025と47の最大公約数を求めます。
2. 最大公約数を求めた後、その過程で得られる商と余りを使って、逆元を計算します。
ステップ1: ユークリッドアルゴリズムで最大公約数を求める
まず、2025と47の最大公約数を求めます。これをユークリッドアルゴリズムを使って実行します。
- 2025 ÷ 47 = 43（商）余り 44
- 47 ÷ 44 = 1（商）余り 3
- 44 ÷ 3 = 14（商）余り 2
- 3 ÷ 2 = 1（商）余り 1
- 2 ÷ 1 = 2（商）余り 0
余りが0になった時点で、最大公約数は1であることがわかります。
ステップ2: 逆元を求める
次に、この過程を逆にたどっていきます。まず、余り1を2025と47の線形結合として表します。
- 1 = 3 – 1×2
- 1 = 3 – 1×(44 – 14×3) = 15×3 – 1×44
- 1 = 15×(47 – 1×44) – 1×44 = 15×47 – 16×44
- 1 = 15×47 – 16×(2025 – 43×47) = 703×47 – 16×2025
ここで得られた式から、逆元は703であることがわかります。
まとめ
このように、拡張ユークリッドアルゴリズムを使うことで、整数の逆元を求めることができます。問題「Sol[2025, 47, 8]」では、2025の47に対する逆元は703であることがわかりました。拡張ユークリッドアルゴリズムは、合同式や逆元計算において非常に有用な技法ですので、しっかりと理解しておきましょう。
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