この問題では、関数 y = (x^2 – 2x)^2 + 4(x^2 – 2x) + 5 の最小値を求める方法を解説します。最小値を求めるには、微分を使って関数の増減を調べる方法が一般的です。では、ステップバイステップで最小値を見つける方法を説明します。
問題の整理
与えられた式は y = (x^2 – 2x)^2 + 4(x^2 – 2x) + 5 です。この式を簡単にするために、まずは x^2 – 2x を t とおいて、式を t の関数として表現します。
y = t^2 + 4t + 5 となります。これにより、x^2 – 2x を t として新たに式をシンプルに扱います。
ステップ1: 微分して極値を求める
次に、y = t^2 + 4t + 5 の微分を行います。微分の結果は次のようになります。
dy/dt = 2t + 4
これを 0 に設定して、t の値を求めます。
2t + 4 = 0
t = -2
したがって、t = -2 が最小値を与える t の値です。
ステップ2: t = -2 を元の式に戻す
t = -2 のとき、元の式 x^2 – 2x の値が何であるかを求めます。
t = x^2 – 2x なので、x^2 – 2x = -2 の解を求めます。
x^2 – 2x + 2 = 0
判別式を使うと、この方程式は実数解を持たないことがわかります。したがって、x の値に関しては実数解がないことを意味します。
ステップ3: 最小値の確認
最小値が t = -2 であることはわかりましたが、y = t^2 + 4t + 5 の最小値を確認するために t = -2 を代入して計算します。
y = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 – 8 + 5 = 1
したがって、この関数の最小値は y = 1 です。
まとめ
関数 y = (x^2 – 2x)^2 + 4(x^2 – 2x) + 5 の最小値を求めるために、まずは式を簡略化し、その後微分を使って極値を求めました。最小値は y = 1 であり、x の値に実数解が存在しないことがわかりました。
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