高校数学：軌跡の問題—AP:BP=1:1 と AQ:BQ=2:1 の図形の方程式の求め方

高校数学の軌跡の問題では、与えられた条件から図形の方程式を求めることが求められます。今回の問題では、点A(0,0)と点B(0,3)の2点を使い、AP:BP=1:1およびAQ:BQ=2:1となる点Pと点Qが描く軌跡の方程式を求める問題です。ここでは、その解き方を解説します。

AP:BP=1:1 の場合の軌跡

まず、点Pが点Aと点Bを結ぶ線分上にあり、AP:BP=1:1となる条件を満たす点Pの軌跡を求めます。AP:BP=1:1は、点Pが線分ABを1:1で分ける点であることを意味します。

点Aと点Bの座標がそれぞれ(0, 0)と(0, 3)なので、点Pはこの2点を結ぶ線分AB上にあります。AP:BP=1:1の条件は、点PがABを2等分する点であるため、点Pの座標はAとBを中点で結んだ座標になります。

中点の公式を使うと、点Pの座標は次のように求められます。

P = ((0+0)/2, (0+3)/2) = (0, 1.5)

したがって、点Pの座標は(0, 1.5)となり、この場合の軌跡は点Pが常に(0, 1.5)に位置することを意味します。よって、この場合の図形は1点です。

次に、AQ:BQ=2:1となる点Qの軌跡を求めます。AQ:BQ=2:1は、点Qが点Aと点Bを結ぶ線分AB上にあり、AQがBQの2倍であることを意味します。

点Aと点Bの座標がそれぞれ(0, 0)と(0, 3)であることから、点Qの座標は線分AB上で、点Aから点Qまでの距離が点Qから点Bまでの距離の2倍である点を示します。

点Aと点Bの距離は3単位です。AQ:BQ=2:1なので、AQの長さは2単位、BQの長さは1単位であり、点Qは点Aから2/3の位置にあります。

点Aから点Qまでの距離が2単位であり、点Aが(0, 0)、点Bが(0, 3)なので、点Qの座標は(0, 2)となります。

この問題では、AP:BP=1:1のときの点Pの軌跡が1点であることが分かり、AQ:BQ=2:1のときの点Qの軌跡が座標(0, 2)であることが分かりました。これらの問題を解くことで、線分上の点の位置関係を理解し、軌跡の求め方を学ぶことができます。