a + b = -1, ab = 1 のとき、aの9乗はどう求めるか？

質問者が提示した式「a + b = -1」と「ab = 1」について、aの9乗を求める方法を解説します。このような問題では、まず与えられた式を使ってaとbの関係を理解し、その後、aの値を求めるアプローチを考えることが重要です。

式の整理とa, bの関係

最初に、a + b = -1およびab = 1という式があります。これらの式は、aとbがどのように関連しているかを示しています。まず、a + b = -1を利用して、bをaの式として表すことができます。

b = -1 – a という形に変形できます。次に、このbの値をab = 1に代入すると、a(-1 – a) = 1 となり、これを展開すると、-a – a² = 1 となります。整理すると、a² + a + 1 = 0 という二次方程式が得られます。

a² + a + 1 = 0 という式を解くためには、二次方程式の解の公式を使います。解の公式は、x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a ですが、この場合、a = 1, b = 1, c = 1 なので、

x = (-1 ± √(1² – 4×1×1)) / 2×1 = (-1 ± √(1 – 4)) / 2 = (-1 ± √(-3)) / 2 となり、虚数解が得られます。これにより、aの値は虚数であることが分かります。

ここでaの値が虚数であることが分かりましたが、aの9乗を求めるには、まずaの虚数の形を知ることが重要です。aの値は、a = (-1 ± √3i) / 2 という形になります。この虚数の9乗を求めるためには、複素数の計算を行う必要があります。

複素数のべき乗を計算する方法として、オイラーの公式を使うことができます。オイラーの公式では、複素数は指数関数を使って表現できますが、この場合、aの9乗もその形式で求めることができます。

a + b = -1、ab = 1という式からaの9乗を求めるには、まずaとbの関係を整理し、aの値が虚数であることを確認しました。次に、複素数のべき乗計算を用いてaの9乗を求めることができます。この問題を通じて、複素数の計算方法や二次方程式の解法について理解を深めることができるでしょう。