x→0の時のx^xの極限値を求める方法：ロピタルの定理を使った解法

このページでは、数学の問題「x→0の時のx^xの極限値を求めよ」について解説します。特に、ロピタルの定理を用いた解法方法に焦点を当て、手順を詳しく説明します。最初にx^xをe^xlogxの形に変形し、その後の解法を順を追って解説します。

1. 問題の確認と解法の方針

まず、与えられた問題は「x→0の時のx^xの極限値を求める」というものです。x^xの形は一見複雑ですが、対数を使って簡単に扱うことができます。まず、x^xをe^xlogxの形に変形し、次にロピタルの定理を使って解いていきます。

x^xは指数関数を使って次のように変形できます。

x^x = e^(x log x)

これにより、x→0の時の問題は、e^(x log x)の極限を求める問題になります。

次に、ロピタルの定理を使って極限を求めます。x→0の時、log xは負の無限大に発散するため、x log xの形で極限を取ると0×(−∞)という不定形になります。この場合、ロピタルの定理を適用するために、x log xを別の形に変換します。

具体的には、x log xは1/(log(1/x))の形に直すことができ、そこからロピタルの定理を適用して極限を求めることができます。

ロピタルの定理を使って計算した結果、x→0の時にx^xの極限値は1となります。したがって、x→0の時、x^xの極限値は1です。

この問題のように、指数関数や対数関数を含む極限の問題では、まず式を簡単にできる形に変形することが重要です。また、ロピタルの定理は不定形を解決する強力な道具ですので、積極的に使いましょう。

他にも様々な数学的問題でロピタルの定理を応用する場面がありますので、しっかりと練習を重ねて理解を深めていきましょう。