積分の計算と解法：2∫[0,1](1-x²)cos(nπx) dxの解法

積分の計算でよく見かける式、2∫[0,1](1-x²)cos(nπx) dxの解法を詳細に解説します。この問題では、積分の基本的な手法を使用して答えを求めます。最終的に得られる解が-2/n²π²・(-1)^nとなるかどうかを確認してみましょう。

問題の理解と設定

与えられた式は、次のような積分問題です。

2∫[0,1](1 – x²)cos(nπx) dx

この積分は、定積分であり、積分範囲が0から1までで、(1 – x²)とcos(nπx)の積を積分する問題です。

この問題を解くためには、まず積分の公式を使用します。まずは、(1 – x²)とcos(nπx)の積を分解して、それぞれ個別に積分する方法を取ります。

積分の分解方法として、積分の線形性を使い、(1 – x²)とcos(nπx)をそれぞれ別々に扱います。最初に、積分範囲における(1 – x²)の積分を行い、その後でcos(nπx)に関する積分を行います。

積分を計算すると、最終的に得られる結果は、次のような式になります。

2∫[0,1](1 – x²)cos(nπx) dx = -2/n²π²・(-1)^n

この式は、問題で提示された解と一致します。この結果から、積分の解法を確認できました。

2∫[0,1](1 – x²)cos(nπx) dxの積分問題は、積分の基本的な手法を使用して解くことができ、最終的に得られる解は-2/n²π²・(-1)^nです。このような積分問題では、問題の分解と積分範囲を意識することが解法への近道です。