ある立方体の一辺の長さが不明な場合、その立方体がどのように変化したかを元に解く方法について解説します。問題では、立方体の縦を1cm、横を2cm伸ばして直方体を作った結果、容積が60㎤になったといった条件が与えられています。このような問題をどのように解けばよいか、一緒に考えていきましょう。
立方体と直方体の容積の関係
立方体の容積は、いっぺんの長さをaとした場合、a³（aの三乗）で求められます。直方体の容積は、縦×横×高さで求められるため、変更後の直方体の容積は、伸ばした縦、横、そして元の立方体の高さを掛け合わせたものになります。
この問題では、立方体の縦を1cm、横を2cm伸ばして直方体に変化させたため、元の立方体の一辺の長さ（a）を使って、直方体の容積が60㎤であるという条件を使って解きます。
問題の設定
問題では、元の立方体の一辺の長さをaとしています。立方体の容積はa³です。そして、縦を1cm、横を2cm伸ばすと直方体ができます。その際の直方体の容積は、a×(a+1)×(a+2)で求めることができます。ここで、直方体の容積が60㎤であるという情報を元に計算します。
したがって、次の式が成り立ちます。
a×(a+1)×(a+2) = 60
方程式を解く
この式を解くために、まずは展開していきます。
(a+1)(a+2) = a² + 3a + 2
この式をさらにaに掛け合わせると、次のような式になります。
a×(a² + 3a + 2) = 60
a³ + 3a² + 2a = 60
これが立方体の容積と直方体の容積の関係を示す方程式です。ここでaを求めるために、計算を進めていきます。
解答の導き方
次に、a³ + 3a² + 2a – 60 = 0 という立方体の一辺を求める方程式を解きます。この方程式を解くためには、試行錯誤や因数分解を用いることができます。
試しにa = 3を代入してみましょう。
3³ + 3(3)² + 2(3) = 27 + 27 + 6 = 60
このように、a = 3が正しい解となります。
まとめ
元の立方体の一辺の長さは3cmです。問題を解く際には、直方体に変化した後の容積が60㎤であることを使い、方程式を立てて解く方法が重要です。数学的な理解を深めるためには、実際に計算を進めていくことが有効です。この方法を用いて、様々な問題にも応用できるようになります。
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