この問題では、線形代数の標準形変換に関する問題を解説します。与えられた二次形式 Q = 3(x1)^2 + 2(x1)(x2) + 3(x2)^2 + 2(x1)√2 – 2(x2)√2 を標準形に変換する方法を説明します。特に、問題となっている項「2(x1)√2 – 2(x2)√2」の扱いについて詳しく解説します。
標準形変換とは
線形代数における標準形変換は、二次形式の式を簡潔な形に変換する操作です。この変換により、式の解を得やすくするために、変数の変更や行列の対角化などが行われます。標準形に変換する目的は、式をより理解しやすく、計算しやすくすることです。
与えられた二次形式の確認
与えられた式は以下の通りです。
Q = 3(x1)^2 + 2(x1)(x2) + 3(x2)^2 + 2(x1)√2 – 2(x2)√2
この式は、二次項と交差項、さらには線形項（x1とx2の線形結合）が含まれています。標準形に変換するためには、これらの項をうまく整理し、行列や固有値を使って簡単な形に変換します。
「2(x1)√2 – 2(x2)√2」の項の取り扱い
問題の中で、「2(x1)√2 – 2(x2)√2」の部分が特に困惑を招いているようですが、この項は単にx1とx2の線形結合です。ここで、変数x1とx2を新しい変数に置き換えることによって、この項を標準形に適した形に変換できます。
この項が重要な理由は、二次形式の対称性を保持するために、行列の対角化を行う必要があることです。これにより、標準形が得られ、計算が容易になります。
標準形への変換手順
標準形への変換は、次のステップを踏んで行います。
- 行列で表される二次形式を用意する。
- 行列を対称行列にする。
- 固有値分解を行い、対角化を実施する。
- 新しい変数に置き換え、標準形の式を求める。
これらの手順を踏むことで、元の式は簡潔な形に変換できます。
まとめ
線形代数における標準形への変換では、与えられた二次形式を適切に処理することが求められます。問題に出てきた「2(x1)√2 – 2(x2)√2」の部分は、x1とx2の線形結合であり、変数の置き換えや行列の対角化を通じて標準形に変換することができます。標準形に変換することで、式の理解が深まり、計算が容易になります。問題を解くためには、固有値分解や行列の変換についての理解が重要です。
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