固有ベクトルの導出は、線形代数の基本的な概念の一つであり、行列とその固有値に関連しています。今回は、以下の行列について、固有値λ=1に対する固有ベクトルを求める方法を解説します。
行列は次のようになります：
1 3 -1
0 -2 1
0 -4 3
固有ベクトルの求め方
まず、固有値λ=1が与えられた場合、固有ベクトルvは次の式を満たします。
(A – λI)v = 0
ここで、Aは行列、λは固有値、Iは単位行列、vは固有ベクトルです。固有値λ=1を代入して、次のような行列方程式を得ます。
(A – I)v = 0
これを計算すると、次のような行列になります。
0 3 -1
0 -3 1
0 -4 2
次に、この連立方程式を解くことで、固有ベクトルvを求めます。これらの式は次のように簡単に解けます。
v = ( -1, -7, 5 )
解法のステップ
1. 与えられた行列Aから、固有値λ=1を使って(A – λI)を計算します。
2. (A – λI)v = 0という連立方程式を立て、vを求めます。
3. その結果として、固有ベクトルv = (-1, -7, 5)が得られます。
結果の解釈
固有ベクトルv = (-1, -7, 5)は、行列Aに対してλ=1という固有値に対応する固有ベクトルです。固有ベクトルは、行列Aによって変換されても、その方向が変わらないベクトルであるため、これを使って行列の性質を深く理解することができます。
まとめ
今回の問題では、固有値λ=1に対応する固有ベクトルを求める方法について解説しました。行列と固有値の関係を理解することは、線形代数の重要な概念です。この手法を使って、他の固有値に対応する固有ベクトルも求めることができます。
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