青チャート数Iの練習36で出題された「不等式3x+1＞2aを満たす最小の整数値が4であるとき、整数aの値を全て求めよ。」という問題について、解き方とその過程を解説します。この問題は不等式の解法を理解するために非常に重要です。
問題の理解と最初の解法
まず、不等式3x + 1 > 2aをxについて解きます。この不等式をxについて解くと、x > (3/2)a – 1 という式になります。次に、この不等式を満たす最小の整数値xが4であるという条件が与えられています。
この時点で、xの値が4であるためには、(3/2)a – 1の範囲を求める必要があります。したがって、x = 4を代入すると、(3/2)a – 1 < 4 となり、(3/2)a < 5 となります。
3≦(3/2)a-1となる理由
ここでの疑問点は、「なぜ3≦(3/2)a-1となるのか？」という部分です。この理由は、不等式x > (3/2)a – 1が最小の整数値x=4に対応するため、(3/2)a – 1は4以上でなければならないからです。したがって、(3/2)a – 1 ≥ 3が成り立ちます。
この場合、xが4であるため、3≦(3/2)a – 1という不等式が成り立つのです。
3を含む場合と含まない場合の違い
「3を含む場合、xの最小の整数値は3になるのでは？」という疑問についてですが、xが4であるという条件を満たすためには、(3/2)a – 1が3以上である必要があります。もし、x=3の場合、(3/2)a – 1が3未満である可能性があるため、最小の整数値は4であることが求められます。
最終的な解答
最終的に、xの最小整数値が4であるために、(3/2)a – 1 ≥ 3となり、この不等式を解くとaの範囲が求められます。したがって、aの値を求めることができ、整数aの値を全て求めることができます。
まとめ
不等式の解法において、最小の整数解を求める際には、与えられた条件に基づいて不等式を変形し、適切な範囲を求めることが重要です。また、解く際に誤った解釈を防ぐために、数式をしっかりと確認することが必要です。
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