三角関数の周期の違いについて：sinθ, cosθ, tanθ

三角関数の周期性について、sinθ、cosθ、tanθのそれぞれの関数がどのように異なる周期を持つのかについて解説します。この質問では、sinθとcosθの周期が2πであるのに対し、tanθの周期はπである理由に注目します。

1. 三角関数の周期性とは？

三角関数とは、角度に基づいて値を取る関数です。これらの関数には周期性があり、ある角度を加算することで元の値に戻るという特性を持っています。この周期性は、グラフにおいて繰り返しのパターンとして現れます。

2. sinθとcosθの周期

sinθとcosθの周期は2πです。これは、角度を2πだけ増加させても、元の値と同じ値に戻るからです。例えば、sin(θ + 2π) = sin(θ)、cos(θ + 2π) = cos(θ)となります。このため、sinθとcosθは2π周期で繰り返しのパターンを形成します。

3. tanθの周期

tanθの周期がπである理由は、tanθがsinθとcosθの比であるためです。具体的には、tanθ = sinθ/cosθであり、角度θをπだけ増加させると、sin(θ + π) = -sin(θ)およびcos(θ + π) = -cos(θ)となり、これによりtan(θ + π) = tan(θ)が成立します。したがって、tanθはπの周期で繰り返します。

4. sinθ, cosθ, tanθの周期性の違い

sinθとcosθはそれぞれ2π周期で元の値に戻るのに対し、tanθはπ周期で元の値に戻ります。これは、tanθがsinθとcosθの比であり、その比がπの間隔で変化するからです。

5. まとめ

三角関数の周期性について理解することは、数学の問題を解く上で非常に重要です。sinθとcosθは2πの周期を持ち、tanθはπの周期を持っています。この違いを理解することで、より深い数学の知識が得られます。