置換積分と部分積分の使い分け方：数学Ⅲ不定積分のポイント

数学Ⅲの不定積分において、置換積分と部分積分のどちらを使うべきか迷うことはよくあります。特にテストでは指示がないため、自分で選ぶ必要があります。この記事では、置換積分と部分積分の違いと、どのように使い分けるかのポイントを解説します。

1. 置換積分とは？

置換積分は、積分する関数が複雑な場合に、変数を適切に置き換えることで積分を簡単にする方法です。特に、積分対象が合成関数（例えば、f(g(x))の形）になっている場合に有効です。

部分積分は、積分の公式で、積の形の積分を解く方法です。一般的に、積分対象が積の形（例えば、u(x) * v(x)）になっている場合に使用します。部分積分の公式は、∫u dv = uv – ∫v duです。

置換積分は合成関数の積分、部分積分は積の積分に使うのが基本です。例えば、積分の中に、(x^2 + 1)の形が含まれていれば、xをuとして置き換えることで積分が簡単になります。一方、積の形（例えば、x * sin(x)）の場合は、部分積分を使います。

テストでは、問題文から積分の形を見て、どちらの方法を使うべきか判断します。もし積が含まれていれば部分積分、合成関数があれば置換積分を考えましょう。問題集の例題で、どちらの方法を使うか練習しておくと、テストでもスムーズに判断できます。

置換積分と部分積分の使い分けは、積分の形を見極めることが重要です。積の形なら部分積分、合成関数なら置換積分を使うことで、効率よく解けます。テストでは問題文をよく読み、どちらを使うかを判断できるように練習しておきましょう。