ハウスドルフ空間と対角線集合の閉集合性に関する証明

この問題では、位相空間Xの直積空間X²における対角線集合⊿ = {(x, x) | x ∈ X}について、X²がハウスドルフ空間であることと、⊿がX²の閉集合であることが同値であることを証明します。証明の過程を丁寧に解説し、重要な概念を順を追って理解していきます。

1. ハウスドルフ空間の定義

まず、ハウスドルフ空間の定義をおさらいしましょう。位相空間Xがハウスドルフ空間であるとは、任意の異なる点x, y ∈ Xに対して、xとyをそれぞれ含む開集合が存在することを意味します。言い換えると、Xの任意の異なる点は、開集合で分離できるという性質を持ちます。

次に、直積空間X²とその中の対角線集合⊿の定義を確認します。直積空間X²は、X×Xで構成される空間です。対角線集合⊿は、Xの任意の点(x, x)が含まれる集合であり、直積空間内で同じ座標に対応する点を集めたものです。

次に、⊿が閉集合であることを証明します。X²がハウスドルフ空間であれば、任意の点(x, y) ∈ X²でx ≠ yの場合、xとyを含む開集合が存在するため、(x, y)が⊿の外に位置することが確認できます。したがって、⊿の補集合は開集合となり、⊿は閉集合であることがわかります。

逆に、⊿がX²の閉集合であれば、X²がハウスドルフ空間であることを示します。⊿が閉集合であることから、任意の異なる点(x, y) ∈ X²に対して、それらを含む開集合を構成できるため、X²はハウスドルフ空間であることが確認できます。

このように、X²がハウスドルフ空間であることと、対角線集合⊿がX²の閉集合であることは同値であることが示されました。この証明を通じて、ハウスドルフ空間の性質と直積空間の閉集合の概念について深く理解できました。