大学の幾何学Ⅰの授業で出題された「集合A, B, C に対して、(A \ B) \ C ≠ A \ (B \ C) となる例を一つ挙げよ」という問題について解説します。この問題は、集合の差集合に関する基本的な理解を深めるための重要な問題です。
集合の差集合とは？
まず、集合の差集合について簡単に説明します。集合Aと集合Bの差集合、すなわちA \ Bは、集合Aに含まれ、かつ集合Bには含まれない要素からなる集合です。
同様に、(A \ B) \ Cは、まずAからBを取り除き、その後Cから取り除く操作を意味します。このような操作を繰り返すことで、集合の異なる要素を順番に除外することができます。
問題文の式について
問題文の式 (A \ B) \ C ≠ A \ (B \ C) は、左辺と右辺が異なる結果を生むことを示しています。つまり、集合の差集合をどの順番で行うかによって結果が変わることを示す例を挙げる必要があります。
具体的に、この2つの式が等しくならない理由を理解するためには、実際に集合を具体的な要素で示してみるのが効果的です。
具体的な例を使った解法
次に、実際の集合を用いて、この式が成り立つかどうかを確認してみましょう。例えば、以下のように集合A, B, Cを定義します。
- A = {1, 2, 3, 4}
- B = {2, 4}
- C = {1, 3}
これを使って、(A \ B) \ C と A \ (B \ C) を計算してみます。
(A \ B) \ C と A \ (B \ C) の計算
まず、(A \ B) \ Cを計算します。
- A \ B = {1, 3}
- (A \ B) \ C = {3}（Cから3を取り除くと何も残らない）
次に、A \ (B \ C)を計算します。
- B \ C = {2, 4}
- A \ (B \ C) = {1, 3}（BとCを除いたAの要素）
結果として、(A \ B) \ C = {3} であり、A \ (B \ C) = {1, 3} となり、左辺と右辺が異なることが確認できました。
まとめ：順序が結果に与える影響
この問題の解法を通じて、集合の差集合を適用する順序が結果に影響を与えることがわかりました。実際の例を使って計算することで、(A \ B) \ C と A \ (B \ C) が異なる結果を出すことが理解できました。
この問題を解くことによって、集合の操作についてより深い理解が得られます。順序を考慮した差集合の計算方法をしっかりと押さえておくことが大切です。
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