高校数学で出てくる問題で、条件を満たす4桁の整数の個数を求める問題があります。この問題では、「9≧d4≧d3≧d2≧d1≧0」という条件を満たす整数の個数を求める方法について疑問が生じた方も多いかと思います。今回はその問題の解法と、なぜ「15≧d4+3>d3+2>d2+1>d1≧0」ではなく、「12≧d4+3>d3+2>d2+1>d1≧0」が使われるのかについて解説します。
問題の概要
問題では、次のような条件が与えられています。
「9≧d4≧d3≧d2≧d1≧0」とは、d4, d3, d2, d1がそれぞれ0から9の範囲の整数で、かつそれらが非増加順に並んでいるという条件です。この条件を満たす4桁の整数がいくつ存在するのかを求める問題です。
整数の並べ方の工夫
この問題を解くための重要なポイントは、与えられた条件をうまく数式に変換することです。条件「9≧d4≧d3≧d2≧d1≧0」を「d4+3>d3+2>d2+1>d1≧0」の形に変換する方法があります。
この変換方法の意図は、数字が非増加順に並んでいる条件を、新たな整数に置き換えて、より扱いやすい形式にすることです。この方法を使うと、整数の選び方の問題に変わり、計算がしやすくなります。
なぜ「15≧d4+3>d3+2>d2+1>d1≧0」ではないのか
質問者が提案している「15≧d4+3>d3+2>d2+1>d1≧0」という形ではない理由は、単に適切な範囲が「12≧d4+3>d3+2>d2+1>d1≧0」であるためです。
元々の条件「9≧d4≧d3≧d2≧d1≧0」において、各整数d4, d3, d2, d1は0から9までの値を取ります。このため、d4に3を加えることで最大で12になります。したがって、12≧d4+3>d3+2>d2+1>d1≧0という式が正しい範囲になります。
計算方法と解法
この変換後、問題は「12≧d4+3>d3+2>d2+1>d1≧0」という条件を満たす整数の個数を求める問題になります。この式は、整数の選び方の問題に帰着するので、組み合わせの計算を行います。
具体的には、d4+3, d3+2, d2+1, d1の4つの数字を、0から12の範囲で選んで並べる問題に変換されます。この問題を解くことで、求める整数の個数を算出することができます。
まとめ
高校数学の問題では、条件をうまく変換して計算を行うことが重要です。この問題の場合、「9≧d4≧d3≧d2≧d1≧0」の条件を「12≧d4+3>d3+2>d2+1>d1≧0」に変換することで、整数の選び方に関する問題に置き換え、より効率的に解くことができました。
このように、数学の問題では条件を整理して計算しやすい形に変換することが、解法の鍵となります。
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