√(x²+2)のn次導関数をライプニッツの公式で求める方法

数学の問題で、√(x²+2) のn次導関数をライプニッツの公式を使って漸化式の形で求める問題があります。ここでは、その解法のステップと、x=0 の時のn次導関数の求め方について解説します。

ライプニッツの公式を用いる理由

ライプニッツの公式は、積の微分法則を一般化したもので、複数の項を持つ関数のn次導関数を求める際に非常に便利です。具体的には、積の形に分解できる場合に、その各項の導関数を計算していきます。問題の関数√(x²+2)は、適切に変形すると積の形に書き換えることができ、この公式を用いて漸化式として表現できます。

問題を積の形に分解する

まず、関数√(x²+2)を簡単に積の形に分解します。具体的には、以下のように書きます。

√(x²+2) = (x²+2)^(1/2)

この形に変形することで、ライプニッツの公式を適用する準備が整います。

ライプニッツの公式による微分

ライプニッツの公式を使用するためには、まず(x²+2)^(1/2)のn次導関数を計算するための漸化式を求める必要があります。この漸化式を導出するために、まず1次導関数から順に計算していき、導関数の形を見つけます。

次に、各導関数を組み合わせて漸化式を構築します。これにより、n次導関数が求められるとともに、任意のnに対する計算が容易になります。

x=0でのn次導関数

漸化式を求めた後は、x=0の時のn次導関数を求めることができます。x=0の場合、関数の各項をx=0に代入して計算します。計算した結果が最終的な解となります。

まとめ

√(x²+2)のn次導関数を求める際、ライプニッツの公式を使うことで漸化式を求めることができ、さらにx=0での値を計算することができます。複雑に思える問題でも、ライプニッツの公式を活用することで効率的に解けることがわかります。