因数定理と高次方程式の解法:x=2+iが解となる方程式の求解方法

数学

因数定理を使って高次方程式を解く方法について理解することは、数学における基本的かつ重要なステップです。今回は、与えられた方程式と解x=2+iに基づいて、実数aとbを求める方法を解説します。

因数定理とは?

因数定理は、ある多項式の解を知っているとき、その解がどのように多項式の因数となるかを示す定理です。具体的には、もしx=rが多項式f(x)の解であれば、f(x)は(x-r)で割り切れるというものです。この定理を使うことで、複雑な方程式を簡単に解くことができます。

問題の整理

与えられた問題は、x=2+iが方程式x³ – 10x² + ax + b = 0の解であるというものです。まず、複素数解x=2+iが与えられた場合、複素数の共役である2-iも解となることを覚えておきましょう。したがって、これらの解を使って因数分解を行います。

因数分解の方法

方程式の解x=2+iとx=2-iを因数として使うと、(x – (2+i))(x – (2-i))という因数を得ることができます。この因数を展開すると、(x – 2)² + 1となります。次に、これを元の方程式に代入して、残りの因数を求めます。

aとbの求め方

残りの因数を使って方程式を因数分解し、係数を比較することで、aとbの値を求めることができます。この過程では、展開と同時に係数の一致を確認する必要があります。具体的な計算手順は次の通りです。

まとめ

この問題では、因数定理と複素数の性質を使って、与えられた解から方程式の係数aとbを求める方法を学びました。因数定理を活用することで、複雑な問題を効率的に解くことができることが理解できたと思います。

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