2次方程式の解の和と積から定数aとbを求める方法

この問題では、2つの二次方程式の解の和と積が互いに関連している場合に、定数aとbの値を求める方法について考えます。具体的には、x^2 + ax + b = 0 の解の和と積が、x^2 + bx + a = 0 の解であるという条件から、aとbを求める方法を解説します。

1. 2つの二次方程式の解と係数の関係

まず、x^2 + ax + b = 0 の解を α と β としましょう。このとき、解と係数の関係から、α + β = -a そして αβ = b が成り立ちます。これが与えられた条件です。

次に、x^2 + bx + a = 0 の解を γ と δ としましょう。この場合、解と係数の関係から γ + δ = -b そして γδ = a が成り立ちます。これが与えられた条件です。

問題文に従って、x^2 + ax + b = 0 の解の和と積が、x^2 + bx + a = 0 の解であることを条件に式を導出します。x^2 + ax + b = 0 の解の和と積をそれぞれ代入し、計算を進めると次の式が得られます。

a^2 – ab + a = 0 … (式③) 、そして 2b^2 = -a … (式④)

式③と④から得られる解を求めると、aとbの関係式が出てきます。問題の条件に基づき、b=1/2、-1、0の3つの解が導かれますが、b=0の場合、式④に代入するとa=0となり、a＜bという条件を満たしません。従って、b=0は除外されます。また、b=1/2の場合は、a=-1/2となり解ではありません。

最終的に、b=-1のときにa=-2となり、a=-2、b=-1が正しい解となります。このように、解の和と積から導かれる定数aとbの値を求めるためには、まず方程式を整理し、得られた式から不適な解を除外することが重要です。

この問題では、二次方程式の解の和と積に関する関係式を使って、定数aとbの値を求めました。途中で得られる解の中から、条件に合わないものを除外し、最終的にa=-2、b=-1を得ることができました。問題の理解と式の操作をしっかり行うことで、正しい解を導くことができます。