剰余の定理の理解：なぜ両辺にx = kを代入するのか？

高校数学

2025.05.26

多項式の割り算で得られる商と余りに関する重要な概念が「剰余の定理」です。剰余の定理によれば、多項式P(x)を(x-k)で割ったとき、商はQ(x)、余りはRであるということがわかります。この記事では、この定理の成り立ちと、なぜ両辺にx = kを代入するのかについて解説します。

剰余の定理とは？

まず、剰余の定理について簡単に説明します。多項式P(x)を(x-k)で割ると、商Q(x)と余りRが得られます。これは次の式で表されます。

P(x) = (x-k)Q(x) + R

この式の両辺にx = kを代入する理由は、余りRが定数であるためです。多項式P(x)を(x-k)で割ったとき、余りは1つの定数値になります。ここで、x = kを代入することで、余りRが直接的に求められるのです。

実際に代入すると、左辺はP(k)となり、右辺では(x-k)が0になるため、余りRだけが残ります。したがって、P(k) = Rという関係が成立します。これが剰余の定理の成り立ちの証明の一部です。

実際の例を見てみましょう。例えば、P(x) = x² – 5x + 6を(x – 2)で割る場合を考えます。

この場合、P(x) = (x – 2)Q(x) + Rという形になります。ここで、x = 2を代入すると、P(2) = 2² – 5(2) + 6 = 0が得られます。これにより、余りRが0であることがわかります。

剰余の定理は、多項式の割り算を簡単にするために非常に役立ちます。特に、多項式の因数分解や多項式の値を求める際に有用です。代入によって余りが直接わかるため、計算が簡略化されます。

例えば、x = kを代入してP(k) = Rが得られることで、x = kがP(x)の根であるかどうかを確認する際にも役立ちます。

剰余の定理で両辺にx = kを代入する理由は、余りRが定数であり、代入することで余りの値を直接得られるからです。この方法を理解することで、多項式の割り算や因数分解を効率的に行うことができ、数学の問題解決において大いに役立ちます。

剰余の定理をマスターすれば、より複雑な多項式の問題にも自信を持って挑戦できるようになります。