高校数学の漸化式の問題で、特性方程式を使って一般項を求める方法を解説します。今回の問題は、漸化式が与えられ、特性方程式をどのように使うかがポイントとなります。問題文とその解法を順を追って説明していきます。
問題の整理
問題の漸化式は次のように与えられています。
- a[1] = 1
- a[n+1] = 2a[n] + 3^n + 1
この漸化式を満たす一般項を求めることが目的です。特性方程式をどう使うかも重要な点です。
特性方程式の使い方
特性方程式は、線形の漸化式を解く際に用います。しかし、この問題では3^nという項があるため、単純な特性方程式だけでは解けません。まずは、漸化式を2つに分けて考えます。
漸化式 a[n+1] = 2a[n] + 3^n + 1 は2つの部分に分けることができます。
- a[n+1] = 2a[n] + 1 の部分（この部分は定常項）
- 3^n の部分（これは指数関数の項）
定常解を求める
まず、a[n+1] = 2a[n] + 1 の部分に注目し、この部分だけを解きます。この漸化式は線形で簡単なものです。
まずは、a[n+1] = 2a[n] + 1 の初期条件 a[1] = 1 を使って解くと、解は次のようになります。
a[n] = C * 2^n – 1
ここで、C は定数で、初期条件を使ってこの定数を求めます。
非定常解の求め方
次に、非定常項 3^n を含む部分を解きます。この部分は指数関数的な挙動を持つため、解法には追加のステップが必要です。
3^n の項を考慮した解を次のように仮定します。
a[n] = D * 3^n
これを漸化式に代入して解を求めます。
最終的な解法
定常解と非定常解を組み合わせると、一般項は次のようになります。
a[n] = C * 2^n – 1 + D * 3^n
ここで、C と D の定数を初期条件やその他の条件から求めることができます。
まとめ
今回の問題では、特性方程式を使って線形部分の解を求め、さらに非線形項（3^n）を別に解くことで漸化式の一般項を求めました。漸化式を分けて考えることで、問題がシンプルに解けることがわかりました。
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