n！=m²-1 の自然数解を求める方法

この問題では、n! = m² – 1 という方程式を満たす自然数の組 (m, n) を求める方法を解説します。問題のステップバイステップの解き方を紹介し、どのようにして解を求めるのかを理解できるようにします。

1. 問題の確認

与えられた方程式は、n! = m² – 1 です。ここで、n! はnの階乗を意味し、m² – 1 はmの二乗から1を引いた値です。この式が成り立つ自然数の組 (m, n) を求める問題です。

まず、与えられた方程式を少し変形してみましょう。n! = m² – 1 という式は、m² = n! + 1 となります。これで、n! + 1 がmの二乗であることがわかりました。この式を使って解を求めます。

自然数の組 (m, n) を求めるために、nの値を小さいものから順に試してみます。n = 1, 2, 3, 4 など、実際に計算してみましょう。

n = 1 のとき、n! = 1 なので、m² = 1 + 1 = 2 となります。しかし、2 は平方数ではないため、解は存在しません。

n = 2 のとき、n! = 2! = 2 なので、m² = 2 + 1 = 3 となります。3 は平方数ではないため、解はありません。

n = 3 のとき、n! = 3! = 6 なので、m² = 6 + 1 = 7 となります。7 は平方数ではないので、解はありません。

n = 4 のとき、n! = 4! = 24 なので、m² = 24 + 1 = 25 となります。25 は平方数で、m = 5 となるため、この場合は解 (m, n) = (5, 4) が得られます。

次に、n の値をさらに大きくして試すことも考えられますが、n! は急速に大きくなるため、m² – 1 と一致する平方数を見つけるのは非常に難しくなります。n = 5 以上の場合を試すと、m² – 1 が大きくなりすぎて、平方数になることはありません。

上記の計算から、(m, n) = (5, 4) が唯一の解であることがわかります。つまり、n! = m² – 1 を満たす自然数の組は (5, 4) のみです。