等比数列の一般項を求める問題で、初項や公比を使って正しい一般項を導くことが求められます。この問題では、初項が2√5、公比が√5である等比数列の一般項を求める際に、なぜ「2・(√5)^n」という形になるのか、その理由を詳しく解説します。質問者が提案した「2√5・(√5)^(n-1)」が間違いである理由にも触れながら、正しい公式の理解を深めていきましょう。
等比数列の一般項の公式
等比数列の一般項は、初項（a₁）と公比（r）を使って次のように表されます。
aₙ = a₁ * r^(n-1)
ここで、aₙはn番目の項を示し、a₁は初項、rは公比です。この公式を使うことで、任意のn番目の項を求めることができます。注意すべきは、指数の部分が「n-1」である点です。
質問者の間違い：「2√5・(√5)^(n-1)」について
質問者は、一般項を「2√5・(√5)^(n-1)」として計算しましたが、これは間違いです。なぜなら、等比数列の一般項公式において、公比が「r」である場合、n番目の項を求める式は「aₙ = a₁ * r^(n-1)」になるためです。質問者の式では、指数部分が1つずれてしまっています。
具体的には、初項が「2√5」、公比が「√5」である場合、1番目の項は「2√5」そのままとなりますが、2番目の項からは「(√5)^(n-1)」が適切に適用されるため、指数部分が1つ減ってしまう式は誤りです。
正しい一般項の導出方法
正しくは、初項が「2√5」、公比が「√5」の場合、一般項は次のように求められます。
aₙ = 2√5 * (√5)^(n-1)
これを簡単に表すと、「2・(√5)^n」となります。なぜなら、「(√5)^(n-1)」を「(√5)^n / √5」と書き換えることができるため、この式が一般項を正確に表す形になります。
例を使って確認する
例えば、n=1の場合、一般項は「a₁ = 2√5 * (√5)^(1-1) = 2√5 * (√5)^0 = 2√5」となり、これは初項と一致します。また、n=2の場合は「a₂ = 2√5 * (√5)^(2-1) = 2√5 * (√5) = 2 * 5 = 10」となります。これで、一般項の計算が正しく行われていることが確認できます。
まとめ
等比数列の一般項は「aₙ = a₁ * r^(n-1)」という公式に従って求められます。この公式を正しく使うことで、問題で与えられた初項と公比から、任意の項を求めることができます。質問者のように指数部分を誤って「n-1」ではなく、間違った位置に適用すると、計算結果が異なってしまうので注意が必要です。正しい一般項を導くために、この公式をしっかりと理解しましょう。
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