この問題では、座標平面上にある曲線y=x²と、傾きが2で交わる2点PとQの座標を求める問題です。特に、点Pのx座標が点Qのx座標より小さいとされており、PQの距離が10であることも与えられています。この記事では、この問題をどのように解くかを順を追って解説します。
問題の整理
まず、与えられた情報を整理します。以下の条件が与えられています。
- 曲線y=x²上にある2点P、Qがある。
- 点P、Qを通る直線の傾きは2である。
- 点Pのx座標は点Qのx座標より小さい。
- PQの距離は10。
この条件を元に、点Pの座標を求める方法を考えます。
直線の方程式と接点の求め方
直線の傾きが2であるということは、直線の方程式は次のように表せます。
y = 2x + b
ここで、bは直線の切片です。次に、この直線がy=x²と交わる点を求めます。交点は、直線の方程式y = 2x + bとy = x²を連立させることで求められます。
x² = 2x + b
これを解くことで、xの値（つまり点Pと点Qのx座標）を求めることができます。
点Pと点Qの距離の条件を使う
次に、点Pと点Qの距離が10であるという条件を利用します。座標P(x₁, y₁)と座標Q(x₂, y₂)の間の距離は、次の式で表されます。
√((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) = 10
これを使って、点Pと点Qのx座標とy座標の関係式を作成します。x₁, x₂は交点のx座標なので、この式を解くことで点Pの座標を求めることができます。
まとめと解法の流れ
この問題は、まず直線の方程式と曲線の交点を求め、次に点Pと点Qの距離条件を使って具体的な座標を求める問題です。ポイントは、直線と曲線の交点を求めた後、その距離を利用して解を求めるところです。これを踏まえた上で、実際に計算を進めていくと、求める座標が明確に導かれます。
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