今回は、二次方程式が重解を持つためのkの値を求める問題について解説します。問題文にあるように、次の二次方程式に対して重解が得られるkの値を求めます。
問題の設定
与えられた二次方程式は次の通りです。
x² + 2(k+1)x + 2(1+k²) = 0
この二次方程式が重解を持つための条件を求めます。重解を持つためには、判別式が0である必要があります。
二次方程式の判別式
一般的な二次方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式 D は次の式で求められます。
D = b² – 4ac
この式に基づいて、与えられた二次方程式の判別式を計算します。
判別式を計算する
与えられた式 x² + 2(k+1)x + 2(1+k²) = 0 から、a = 1, b = 2(k+1), c = 2(1+k²) です。
判別式 D を計算すると、次のようになります。
D = [2(k+1)]² – 4 × 1 × 2(1+k²)
D = 4(k+1)² – 8(1+k²)
D = 4(k² + 2k + 1) – 8(1 + k²)
D = 4k² + 8k + 4 – 8 – 8k²
D = -4k² + 8k – 4
重解の条件
重解を持つためには、判別式 D が0でなければなりません。
-4k² + 8k – 4 = 0
この式を解くために、まず両辺を-4で割ります。
k² – 2k + 1 = 0
この式は二項式の平方完成を使って簡単に解けます。
(k – 1)² = 0
したがって、k = 1 です。
まとめ
この問題では、与えられた二次方程式が重解を持つためのkの値を求めました。計算の結果、k = 1 の時に重解が得られることがわかりました。判別式を用いて、二次方程式の解を求める手順を理解することができましたね。
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