関数 e^(-t) × sin(2t) の最大値と最小値を求める問題では、まず関数の極値を求め、次にその値が最大か最小かを判定する必要があります。この記事では、この問題の解法をステップバイステップで解説します。
1. 関数の定義と目標
まず、与えられた関数 f(t) = e^(-t) × sin(2t) の最大値と最小値を求めるには、t の範囲 [0, π] でこの関数の挙動を調べることが重要です。関数は、指数関数と三角関数の積として表現されています。
この関数の最大値と最小値を求めるためには、まずその導関数を求め、臨界点を探します。その後、各臨界点での関数の値を評価し、最大値と最小値を特定します。
2. 導関数の計算
f(t) = e^(-t) × sin(2t) の導関数を求めます。積の法則を使って次のように計算します。
f'(t) = d/dt [e^(-t)] × sin(2t) + e^(-t) × d/dt [sin(2t)]
ここで、e^(-t) の導関数は -e^(-t)、sin(2t) の導関数は 2cos(2t) です。したがって、f'(t) は次のようになります。
f'(t) = -e^(-t) × sin(2t) + 2e^(-t) × cos(2t)
3. 臨界点を求める
f'(t) = 0 となる t の値を求めます。つまり、次の式を解きます。
-e^(-t) × sin(2t) + 2e^(-t) × cos(2t) = 0
両辺を e^(-t) で割ると、次の式になります。
-sin(2t) + 2cos(2t) = 0
これを解くと、sin(2t) = 2cos(2t) となります。この式を解くと、t = π/6, 5π/6 が得られます。
4. 最大値と最小値の判定
次に、t = π/6 と t = 5π/6 で関数 f(t) の値を求め、最大値と最小値を判定します。さらに、f(t) の端点 t = 0 と t = π での値も求めて、最大値と最小値を比較します。
t = π/6 で、f(π/6) = e^(-π/6) × sin(π/3) = e^(-π/6) × √3/2 となり、t = 5π/6 で、f(5π/6) = e^(-5π/6) × sin(5π/3) = -e^(-5π/6) × √3/2 です。
t = 0 と t = π では、f(0) = e^0 × sin(0) = 0 と f(π) = e^(-π) × sin(2π) = 0 です。
5. まとめ
関数 e^(-t) × sin(2t) の最大値と最小値を求めるためには、導関数を使って臨界点を求め、端点と臨界点での関数の値を比較することが重要です。この場合、最大値は t = π/6 で、最小値は t = 5π/6 であることがわかります。
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