微分方程式 (1+xy)ydx+(1+xy)xdy=0 の解法

微分方程式の解法は、数学における重要なスキルのひとつです。特に、与えられた形式に応じて適切な手法を選ぶことが必要です。ここでは、(1+xy)ydx + (1+xy)xdy = 0という微分方程式を解いていきます。

問題の整理

与えられた微分方程式は次の通りです。

(1+xy)ydx + (1+xy)xdy = 0

この微分方程式は、変数xとyが複雑に絡み合った形になっています。最初に、式を整理していくつかの変数分離の手順を試みます。

まず、共通の因数(1+xy)を式全体から取り出します。

(1+xy)(y dx + x dy) = 0

これで、式は次のように簡単になりました。

y dx + x dy = 0

次に、変数を分けていきます。yとxの項をそれぞれ左右に分けるために、両辺をxで割り、yで割ります。

y dx/x = – x dy/y

これで、yとxがそれぞれ別々の項に分かれました。ここで、この式を積分する準備が整いました。

次に、両辺を積分します。

∫(y dx/x) = -∫(x dy/y)

左辺を積分すると、y ln|x|となり、右辺を積分すると-x ln|y|になります。したがって、積分結果は次のようになります。

y ln|x| = – x ln|y| + C

ここで、Cは積分定数です。これが微分方程式の一般解となります。

最後に、得られた解を整理し、具体的な解として表現するための手順を考えます。yとxの関係式を解の形式に合わせて表すと、解が求まります。

式を少し整理することで、yとxの具体的な関係を導き出すことができます。具体的な数値例がある場合は、この関係式を使ってさらに解を深めることができます。

この問題では、微分方程式を解くために変数分離法を使用しました。最終的に、一般解としてy ln|x| = – x ln|y| + Cという形に落ち着きました。このように、微分方程式を解くためのステップを踏みながら解法を進めることが大切です。数学的な解法の中で重要なスキルは、式の整理と積分にあります。