2次方程式 x² + ax + b = 0 の解と係数 a, b の求め方

この問題では、2次方程式 x² + ax + b = 0 の解のうち、x = 1 + i が与えられたときの a と b の値を求め、もう一つの解を求める方法を解説します。複素数が絡む問題ですが、基本的な二次方程式の解の公式と複素数の性質を活用して解いていきます。

問題の設定と与えられた条件

2次方程式 x² + ax + b = 0 があり、その一つの解として x = 1 + i が与えられています。この問題では、a と b を求めるために、まず二次方程式の性質に注目します。

また、x = 1 + i が解であることから、複素数の共役も解に含まれることを利用します。複素数の共役について理解し、その性質を活かして解を進めます。

二次方程式の性質と解の公式

一般的な二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解は、解の公式を使って求めることができます。ここでは、x² + ax + b = 0 の形になっているので、解の公式を使って解を求めます。

x = (-a ± √(a² – 4b)) / 2

また、与えられた解の x = 1 + i において、もう一つの解はその共役である x = 1 – i であることを利用します。このように、複素数の解が与えられた場合、もう一方の解は共役となります。

a と b を求める

二次方程式の解と係数の関係について、解と係数の関係式を使うことができます。解と係数の関係により、次のような式が成り立ちます。

解の和 = -a、解の積 = b

したがって、解が 1 + i と 1 – i の場合、解の和は (1 + i) + (1 – i) = 2 となり、a は -2 となります。

また、解の積は (1 + i)(1 – i) = 1² – i² = 1 + 1 = 2 となるため、b は 2 となります。

もう一つの解を求める

次に、もう一つの解を求めます。前述のように、1 + i が解であれば、もう一つの解はその共役である 1 – i です。このように、複素数が解である場合は、その共役も解であることを利用します。

したがって、2次方程式 x² – 2x + 2 = 0 のもう一つの解は 1 – i です。

まとめ

この問題では、与えられた解 x = 1 + i に対して、a = -2 と b = 2 を求め、もう一つの解として x = 1 – i を導きました。複素数が解である場合、その共役も解であるという性質を利用することで、a と b の値を簡単に求めることができました。二次方程式における解と係数の関係を活用することが重要です。