積分の公式 ∫1/sin²x の解法と注意点 - 1/tanx との違い

積分 ∫1/sin²x の解き方には、注意点がいくつかあります。特に、結果として出てくる式や定義域に関する理解が重要です。質問者が挙げた疑問について、詳しく解説していきます。

∫1/sin²x の積分公式の正しい解法

まず、∫1/sin²x の積分を求める際に出てくる公式は、次のように表されます：
∫1/sin²x dx = -cot(x) + C

ここで、cot(x) はコタンジェントであり、cot(x) = cos(x) / sin(x) という関係があります。この結果は基本的な三角関数の積分公式に基づいており、具体的な計算方法において重要な役割を果たします。

質問者は「∫1/sin²x = -1/tanx + C」という公式が誤りだと感じているようですが、実際にはこの式は適切ではありません。なぜなら、tan(x) の逆関数である cot(x) と同じ結果を示しており、1/tan(x) ではなく cot(x) が正しい答えとなるからです。

1/tan(x) を使うと計算が誤った結果になる可能性があります。cot(x) とtan(x) は密接に関連しており、tan(x) の逆数として cot(x) を使う必要がある点に注意が必要です。

質問者が挙げた「x = π/2 での定義域」についても触れておきます。実際、cot(x) や tan(x) は、x = π/2 のような特定の角度において定義できない点があります。

cot(x) = cos(x) / sin(x) の場合、x = π/2 の時に sin(x) が 1 となるため、問題なく定義されます。逆に tan(x) では、x = π/2 の時に cos(x) が 0 になるため、定義できません。このような詳細な三角関数の性質を理解しておくことが重要です。

∫1/sin²x の積分を解く際、答えは -cot(x) + C であり、tan(x) を使ってしまうことが誤りです。三角関数の基本的な理解を深めることで、正しい解法を見つけることができます。計算を行う前に、三角関数の定義や性質についてしっかりと確認することが大切です。