微分方程式の解法：dx/dt = t + x/t と dx/dt = 2t – x/t – 2x の解法

微分方程式を解く際に、途中式をしっかりと確認しながら進めることが重要です。この記事では、以下の2つの微分方程式の解法を、途中式を含めて詳しく解説します。

• dx/dt = t + x/t
• dx/dt = 2t – x/t – 2x

これらの微分方程式を解く際のステップを順を追って見ていきましょう。

1. dx/dt = t + x/t の解法

最初に取り組む微分方程式は、dx/dt = t + x/t です。この方程式は、まずxについて解くために分離可能かどうかを確認します。

dx/dt = t + x/t となっているので、xをtの関数として表すために、整理します。

dx/dt = t + x/t

この式を解くために、まず両辺を積分するために変形を行います。積分の部分については、適切な変数変換を行いながら解くことができます。

2. dx/dt = 2t – x/t – 2x の解法

次に、微分方程式 dx/dt = 2t – x/t – 2x を解いていきます。この方程式も、まずxに関する整理を行い、適切な解法を選択します。

方程式は次のように書き換えることができます。

dx/dt = 2t – x/t – 2x

ここでは、xの項を整理し、適切な積分法を使って解く方法を取ります。特に、x/tの項と2xの項を適切に分離し、積分可能な形に変形します。

途中式と計算の詳細

途中式では、まず微分方程式を整理して、それぞれの項がどう変化するかを確認します。積分を進める際には、適切な定数を導入し、最終的に解を求めることができます。

例えば、dx/dt = t + x/t の場合、積分によって得られる解は次のように表せます。

x(t) = C1 + t^2/2 + tln(t)

これを初期条件に合わせて調整することで、特定の解を得ることができます。

まとめ

微分方程式の解法は、整理して分離することが重要です。dx/dt = t + x/t と dx/dt = 2t – x/t – 2x のそれぞれについて、適切な計算手順を踏んで解を得ることができます。積分や変数変換を利用しながら、解法の過程をしっかりと追いかけていくことで、正しい解にたどり着くことができます。