この問題では、数列Anが正の無限大に発散し、数列Bnが負の実数b<0に収束しているとき、数列AnBnが発散することを示す問題について考えます。数列AnとBnの積の挙動を理解することが目的です。
問題の設定
数列Anが正の無限大に発散し、数列Bnが負の実数bに収束するという条件があります。このとき、数列AnBnが発散することを証明する必要があります。AnとBnの積が発散する理由を理解するためには、それぞれの数列の挙動を詳しく見ていく必要があります。
数列Anの性質
数列Anは正の無限大に発散するということは、任意の大きな正の数Mに対して、あるNが存在し、n > NのときにはAn > Mとなることを意味します。言い換えれば、Anは非常に大きな値をとるようになります。
具体的には、Anが無限大に発散するとは、Anが無限に増加し続けることを意味します。この挙動により、Anがどんなに小さな正の数と掛け算されても、その結果は十分に大きな値を持ち続けることになります。
数列Bnの性質
数列Bnは負の実数bに収束しています。これは、Bnが任意の小さなε > 0に対して、あるNが存在し、n > Nのときには|Bn – b| < εとなることを意味します。Bnは収束先として負の値bを持ち、その値に近づいていきます。
この収束性を考慮すると、Bnはbの値に近づきながら、負の値を維持し続けることがわかります。この性質を利用して、AnとBnの積の挙動を理解します。
AnBnの積が発散する理由
数列Anが無限大に発散し、Bnが負の実数bに収束する場合、AnBnの積は次のようになります。
Anが非常に大きな値を取る一方で、Bnは負の値に収束しますが、Anが十分に大きくなることで、AnBnの積は負の無限大に発散することになります。これは、Anが増加する速さに対して、Bnが収束する速さが十分に遅いためです。
具体的には、Anが無限大に近づくことで、AnBnの積は負の無限大に発散するため、数列AnBnは発散します。このように、数列AnBnは発散することが示されます。
まとめ
数列Anが正の無限大に発散し、数列Bnが負の実数bに収束する場合、AnBnの積は発散することが示されました。これは、Anが無限大に向かって増加し続け、Bnが負の値に収束しながらも、その増加速度が収束に勝って発散するためです。
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