円と直線の共有点を持つ時の定数mの値の範囲の求め方

円と直線が共有点を持つための条件を求める問題です。円の方程式と直線の方程式を連立させ、判別式を用いて解の条件を求める過程を丁寧に解説します。

1. 円と直線の方程式

与えられた円の方程式はx² + y² = 1です。これは中心(0,0)半径1の円を表します。

直線の方程式はy = 2x + mです。この直線は傾きが2で、y軸との切片がmの直線です。

直線と円の共有点を求めるために、直線の方程式y = 2x + mを円の方程式x² + y² = 1に代入します。

まず、y = 2x + mを代入して、x² + (2x + m)² = 1となります。展開すると、

x² + (4x² + 4mx + m²) = 1になります。

これを整理すると、5x² + 4mx + m² – 1 = 0となります。この式が二次方程式です。

この二次方程式が実数解を持つためには、判別式Δが非負でなければなりません。判別式Δは、b² – 4acで求められます。ここで、a = 5, b = 4m, c = m² – 1です。

判別式Δ = (4m)² – 4(5)(m² – 1)となります。

これを計算すると、Δ = 16m² – 20(m² – 1) = 16m² – 20m² + 20 = -4m² + 20となります。

判別式Δが非負であるためには、-4m² + 20 ≥ 0でなければなりません。

これを解くと、4m² ≤ 20となり、m² ≤ 5となります。

mの範囲は、-√5 ≤ m ≤ √5となります。

与えられた円と直線が共有点を持つためには、mの値は-√5 ≤ m ≤ √5でなければならないことが分かりました。このように、判別式を使うことで解の条件を求めることができます。