8x³ + 27y³ + 18xy - 1の因数分解方法

高校1年生でも理解できる因数分解の公式を使って、式「8x³ + 27y³ + 18xy – 1」を因数分解する方法を解説します。

因数分解の基本

因数分解は、複雑な式をより簡単な積に分解する作業です。今回は、立方体の加法定理と差の平方を用いて因数分解を行います。基本的な公式を復習してから進めていきましょう。

立方体の加法定理は、次のように表されます。

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³です。この公式を使うことで、立方体を因数分解する際に便利です。

最初に与えられた式は、「8x³ + 27y³ + 18xy – 1」です。これを立方体の形に分解するため、最初に確認するのは次の2つの項目です。

8x³と27y³はそれぞれ、(2x)³と(3y)³として表すことができます。また、18xyの項は、2×3×x×yとなり、この式の中で立方体の形に関連していることがわかります。

次に、式「8x³ + 27y³ + 18xy – 1」を因数分解します。まず、以下のように式を整理します。

(2x)³ + (3y)³ + 2×3×x×y – 1となります。この式は立方体の加法定理に従って、(2x + 3y)³ – 1という形に変換できます。

次に、差の平方の公式を使います。

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)です。これを式に適用すると、(2x + 3y – 1)((2x + 3y)² + (2x + 3y)(1) + 1²)となります。

このようにして、最終的に式は因数分解されます。

式「8x³ + 27y³ + 18xy – 1」を因数分解するためには、立方体の加法定理と差の平方の公式を使うことができます。整理した式を順番に因数分解し、最終的に因数分解された形を得ることができました。この方法は、高校1年生でも理解できる公式を使った簡単な因数分解の例です。